من طرف tre 1 Ensembles – Applications – Relations
Introduction
A propos de la langue.
Il nous paraît indispensable de souligner, pour nos étudiants dont l’enseignement primaire et secondaire s’est fait essentiellement en arabe, qu’à un niveau universitaire, l’acquisition d’une ou de plusieurs langues étrangères, loin de constituer un indice d’oppression et/ou de soumission et de reniement de sa personnalité comme on le croit fréquemment, est en réalité une source d’enrichissement intellectuel et de libération. Nous tenons à les rassurer que le tant soit peu qu’ils savent du français ou de l’anglais est certainement suffisant pour leurs permettre de lire couramment des ouvrages scientifiques et notamment ceux mathématiques et le seul obstacle qu’ils auront à surmonter sera d’ordre psychologique. Le problème est simplement d’avoir suffisamment d’audace pour ouvrir un manuel de mathématique en français ou en anglais et de se faire par soi-même une idée de la difficulté de la langue utilisée. Nous les conseillons de se lancer directement dans des textes mathématiques écrits dans l’une ou l’autre de ces deux langues et de procéder, dans un premier temps, à la traduction des termes ou phrases qu’ils n’auront pas compris. Il suffit généralement de quelques semaines d’entraînement, comme ça, pour franchir allègrement cet handicap. De toutes les façons, de par le choix de leur filière et vu que l’essentiel des publications les concernant se fait dans ces deux langues, ils seront appelés à mieux maîtriser ces dernières et il vaut mieux le faire tôt que tard. Ceci, en espérant qu’en retour, nos étudiants, une fois arrivés au stade de la recherche, se mettent à produire en arabe et ainsi permettre à notre langue de retrouver la place qui fut la sienne de par le passé. N’oublions pas que le mot « algèbre » est un mot arabe.
A propos des mathématiques.
Le but des mathématiques est de construire des objets mathématiques, de former des relations entre ces objets et de démontrer par les méthodes du raisonnement logique que certaines de ces relations sont vraies.
Ainsi, une théorie mathématique se présente sous la forme d’une suite d’énoncés (définitions et propositions ) tels que toute définition soit donnée au moyen de termes déjà définis et que toute proposition soit démontrée à l’aide de propositions déjà admises.
Ces définitions, ces propositions et leurs démonstrations sont énoncées avec les mots d’une langue. Ces mots ont été définis auparavant avec précision et donc ne doivent recevoir que la signification qu’on leurs a attribuée au départ. Ils ne doivent – quitte à préciser davantage- prêter à aucun risque de confusion. Notons cependant et ceci malgré un souci de rigueur toujours croissant, que dans toute théorie mathématique il restera des termes dits primitifs dont la signification relève du domaine intuitif. On attribue à ces termes la signification intuitive qui est la leur dans le langage parlé. Signification qui se trouve néanmoins mieux précisée par des règles d’usage bien établies. Citons à titre d’exemple, dans la théorie des ensembles, les termes « ensemble, égalité, appartenance ». Une mauvaise interprétation de ces termes et/ou un mauvais usage des « règles de jeu » les définissant conduit la plupart du temps à des absurdités. Nous conseillons donc à nos étudiants de faire très attention à ce qu’ils écrivent tout en tenant à les rassurer que généralement ce domaine intuitif de base diminue avec l’augmentation de leur maturité intellectuelle. Augmentation qui ne peut avoir lieu qu’avec une confrontation réelle avec des textes mathématiques suivis d’exercices pratiques et un souci de rigueur de plus en plus accru dans la recherche et la rédaction de leurs solutions. L’étudiant, s’il veut progresser, ne doit plus subir une solution à un problème mais plutôt, la chercher et la rédiger avec le langage qui est le sien quitte à comparer ensuite avec la solution type proposée et rectifier les erreurs de raisonnement ou de rédaction qu’il aurait pu commettre. Il importe aussi que l’étudiant s’habitue à consulter des livres, à rechercher dans l’un ce qu’il ne trouve pas ou ce qu’il a du mal à comprendre dans l’autre, à comparer les points de vue et les méthodes, « C’est en forgeant qu’on devient forgeron ». Le rôle d’un étudiant n’est pas seulement d’assister aux cours et aux TD et d’avaler bien sagement des connaissances toutes préparées ; il est incomparablement plus important d’apprendre à se cultiver par soi-même. En mathématiques comme ailleurs, il est impératif d’avoir une attitude critique qui consiste avant tout à débusquer les mots et les phrases qui ne veulent rien dire, les définitions incomplètes ou ambiguës, les démonstrations fausses ou insuffisantes, etc.…Une analyse critique de textes mathématiques proches de la perfection comme d’ailleurs et si ce n’est mieux, de textes des plus mauvais et qu’ on s’appliquera à démolir mot par mot et phrase par phrase permettra très certainement à l’étudiant d’atteindre cette maturité intellectuelle indispensable aux sciences déductives en général et aux mathématiques en particulier. Ainsi, l’étudiant se débarrassant, petit à petit, de toute forme d’interprétation due a un langage parlé souvent imprécis, s’habituera à considérer des schémas de plus en plus abstraits et sur lesquels le raisonnement logique offre plus de prise. On parviendrait ainsi à une compréhension profonde de l’esprit véritable des mathématiques et s’apercevoir, enfin, que faire des mathématiques n’est pas seulement apprendre à appliquer des formules aussi compliquées soient-elles, mais surtout que c’est une façon de se cultiver et d’apprendre à savoir aborder avec sagesse les choses de la vie.
2] I-Notions de logique[/size]
1-Assertion.
On appelle assertion, un énoncé dont on peut affirmer sans ambiguïté s’il est vrai ou faux |
exemple : 2< 5
- 2-proposition.
C’est un énoncé qui contient des variables. Il est vrai pour certaines valeurs attribuées à ces variables et faux pour toutes les autres valeurs. |
Exemple : x < 5
Une proposition est généralement représentée par une lettre majuscule P, Q, R…
La négation d’une proposition « P », notée « non P », elle est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie. Elle est schématisée par le tableau suivant qu’on appelle table de vérité.
P | non P |
V | F |
F | V |
V signifie vrai et F signifie faux.
- 3- Conjonction de deux propositions.
La proposition« P et Q » est la conjonction des deux proposions P et Q, elle est vraie dans le seul cas où P est vraie et Q est vraie et elle est fausse dans tous les autres cas. |
Deux propositions dont la conjonction est toujours fausse sont dites incompatibles.
Exemple : Les propositions P et non P sont incompatibles. « P et non P » est toujours fausse
(Principe de non contradiction).
- 4-Disjonction de deux propositions.
C’est la proposition « P ou Q », elle est fausse dans le seul cas où les deux propositions P et Q sont fausses simultanément et elle est vraie dans tous les autres cas. |
La proposition « P ou non P » est toujours vraie (principe du tiers exclu).
· 5-Implication.
La proposition « (non P) ou Q » s’appelle implication et se note : P Þ Q |
Lire « P implique Q » ou « P entraîne Q »
Cette proposition est à la base de pratiquement toutes les démonstrations que nous aurons à faire.
· 6-Equivalence.
La proposition « (P Þ Q) et (Q Þ P) » s’appelle équivalence et se note : « P Û Q ». |
(Lire : P est équivalente à Q)
Exemple : (non (non P)) Û P
Ces différentes propositions sont schématisées par le tableau suivant :
P 1 | Q 2 | P et Q 3 | P ou Q 4 | P Þ Q 5 | P Û Q 6 |
V | V | V | V | V | V |
V | F | F | V | F | F |
F | V | F | V | V | F |
F | F | F | F | V | V |
Remarque1.
Comme on peut le constater sur ce tableau (col.5, lig.3), l’implication est fausse dans le seul cas où P est vraie et Q est fausse; or dans la plupart des démonstrations, il s’agit d’établir une implication. Il s’agit donc de montrer qu’on n’est pas dans le cas de la ligne 3 du tableau. On tient alors le raisonnement suivant : « on suppose P vraie et on établit la vérité de la proposition Q ».
Remarque 2.
La négation d’une implication n’est pas une implication. C’est une faute qui est, malheureusement commise, souvent, par excès de précipitation. On a :
« non (P Þ Q) » Û « P et (non Q) »
Par contre «P Þ Q » Û « non Q Þ non P »
Le deuxième membre de l’équivalence est l’implication contraposée de celle du premier membre. Il nous arrive souvent qu’au lieu d’établir l’implication directe, on établit l’implication contraposée. Signalons au passage, que ce mode de raisonnement n’est pas ce que l’on appelle un raisonnement par l’absurde.
Remarque3.
L’implication est transitive c’est à dire :
[(P Þ Q) et (Q Þ R)] Þ [P Þ Q]
ce que l’on notera par : ( P Þ Q Þ R ).
Il nous arrive d’appliquer cette propriété de transitivité dans le cas suivant :
Pour établir la double équivalence « (P Û Q) et (Q Û R) », on établit :
« (P Þ Q) et (Q Þ R) et (R Þ P) »
Remaque4.
Notons enfin que :
non ( P et Q) Û [(non P) ou (non Q)]
non ( P ou Q) Û [(non P) et (non Q)]
non ( P ou Q) Û [(non P) et (non Q)]
Ces deux règles sont appelés « règles de dualité ».
· 7- Raisonnement par l’absurde.
Soit à prouver la vérité d’une proposition P ; le raisonnement consiste alors à considérer la proposition « non P » puis à démontrer l’implication : (non P) Þ (non Q) ; où (non Q) est la négation d’une proposition Q dont on sait qu’elle est vraie.
Comme :
(non P Þ non Q) Û (Q Þ P)
Q étant vraie et puisque l’implication est vraie, il en résulte que P est vraie.
II- Notions sur la théorie des ensembles
1-notion d’ensemble
· 11-Egalité.
Etant donné deux objets a et b, on établit une relation en écrivant a = b ; dire que cette relation est vraie signifie que les objets a et b sont identiques ou on été reconnus comme tels c’est à dire qu’il s’agit du même objet qui a reçu deux dénominations différentes.
Exemple.
On calcule le nombre 5 3 on nomme le résultat a, on calcule 2´4 on nomme le résultat b, les règles de l’arithmétique permettent d’affirmer que a = b.
La proposition « a = b » se lit « a égale b », sa négation est « a ¹b » et se lit « a distinct de b »
· 12-Ensemble.
La notion d’ensemble correspond aux notions courantes d’ensemble, de collection, de groupement etc., d’objets de nature quelconque, ces objets s’appellent les éléments, les membres, les individus, …de l’ensemble, de la collection, du groupement,…
En mathématique on a choisi les mots ensemble et élément et on énonce :
Un ensemble est constitué d’éléments
Ces deux mots étant précisés par les règles suivantes :
1-Un ensemble E est bien défini lorsqu’on possède un critère permettant d’affirmer pour tout objet a, s’il appartient à E ou n’appartient pas à E ; on écrit respectivement :
« a Î E » ( lire « a appartient à E » ou « a est élément de E »ou « E contient a »)
ou
« a Ï E » (lire « a n’appartient pas à E » ou « a n’est pas élément de E »
ou « E necontient pas a »)
2-Un même être mathématique ne peut être à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble.
Nous nous interdisons d’écrire « a Î a ».
3- La collection de tous les ensembles imaginables n’est pas un ensemble.
Exemple.
IN ensemble des nombres naturels, Z ensemble des entiers rationnels, Q ensemble des nombres rationnels, IR ensemble des nombres réels,C ensemble des nombres complexes.
Remarque1.
Deux ensembles E et F sont dits égaux s’ils sont constitués des mêmes éléments, on écrit : E = F
Dans le cas contraire, on dit qu’ils sont distincts (ou inégaux) et on écrit :
E ¹ F.
Remarque2.
On peut concevoir qu’une lettre – x par exemple – désigne un élément quelconque d’un ensemble E, cette circonstance s’énonce :
« soit x un élément quelconque de E » ou « soit x un élément arbitraire de E »
ou « soit x un élément générique de E ». On dit encore que « x est une variable décrivant E ».
Le choix de la lettre x importe peu, elle peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre de l’alphabet et même éventuellement par un signe.
Remarque3.
Un ensemble fini peut être défini par l’énumération de tous ses éléments. On cite chacun de ses éléments entre deux accolades.
Exemple.
Si E est constitué des éléments a, b, c, d, on écrit : E = {a, b, c, d}
L’ordre dans lequel on les cite n’importe pas. Ainsi {a, b}= {b, a}.
Un ensemble à un seul élément a s’écrit donc {a}. La distinction entre l’élément a et l’ensemble {a}est fondamentale, on a : aÎ{a}.
· Ensemble vide :
On appelle ensemble vide, un ensemble ne comprenant aucun élément. On le note Æ. |
Ainsi, quelque soit a : aÎÆ est une proposition toujours fausse.
2-Inclusion. Réunion. Intersection
· 21-Inclusion
Un ensemble E est inclus dans un ensemble F lorsque tout élément de E appartient à F. |
On écrit : E Ì F
Lire : « E est inclus dans F » ou « E est une partie de F » ou « E est un sous ensemble de F »
Ainsi :
E Ì F Û (pour tout x) (xÎ E Þ x Î F)
Exemples.
1- IN Ì Z Ì Q Ì IR Ì C
2- Pour tout ensemble E, on a : E Ì E. (E est la partie pleine de E)
3- Les définitions que nous avons données de l’implication et de l’ensemble vide montrent que, pour tout x et tout ensemble E : xÎ Æ Þ x Î E
L’ensemble vide est donc une partie de tout ensemble E, on l’appelle la partie vide de E.
Propriétés.
De par la définition de l’inclusion, on a immédiatement :
· E Ì E pour tout ensemble E (réflexivité)
· E Ì F et F Ì E Þ E = F (antisymétrie)
· E Ì F et F Ì G Þ E Ì G (transitivité)
D’autre part la définition de l’égalité de deux ensemble montre que :
E = F Û ( E Ì F et F Ì E )
Remarque.
Lorsqu’il existe au moins un élément qui appartient à E et n’appartient pas à F, on dit que E n’est pas inclus dans F et on écrit E Ë F. Ce qui n’entraîne pas forcément que F Ì E.
· 22-Complémentaire.
Etant donné une partie A d’un ensemble E, on appelle complémentaire de A par rapport à E, l’ensemble des éléments de E n’appartenant pas à A. On le note ou E – A |
On a donc, pour tout x appartenant à E :
Il en résulte que :
Et, en particulier
· 23-Ensemble des parties d’un ensemble.
Si l’on considère toutes les parties d’un ensemble E, elles décrivent un nouvel ensemble appelé ensemble des parties de E et noté Ã(E) ; on a donc :
A Ì E Û AÎÃ(E)
En particulier si E est un ensemble qui contient l’élément a, alors :
aÎE Û {a}Ì E Û {a}ÎÃ(E)
Exemple.
Si E = {a,b,c} alors Ã(E) = {Æ,{a},{b},{c},{a,b},{a, c },{b, c} ,{a, b, c}}
Observons que, quelque soit l’ensemble E : ÆÎÃ(E) et E ÎÃ(E).
A |
B |
E |
Pour soutenir notre intuition, il nous arrive parfois de représenter les ensembles par des schémas (diagrammes de Venn). Cette façon de faire ne peut en aucune manière servir de démonstration.
· 3- Intersection et réunion d’ensembles
On appelle intersection de deux ensembles E et F et on note E Ç F, que l’on lit « E inter F », l’ensemble des éléments communs à E et à F. xÎ E Ç F Û (xÎ E et xÎ F) |
On appelle réunion de deux ensembles E et F et on note E È F, que l’on lit « E union F », l’ensemble des éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles E ou F. xÎ E È F Û (xÎ E ou xÎ F) |
Propriétés.
On établit facilement que :
- l’intersection et la réunion sont commutatives et associatives, c’est à dire : quel que soient les ensembles A, B et C :
A Ç B = B Ç A et A È B = B È A
(A Ç B) Ç C =A Ç (B Ç C) et (A ÈB) È C = A È (B È C)
(A Ç B) Ç C =A Ç (B Ç C) et (A ÈB) È C = A È (B È C)
- elles sont distributives l’une par rapport à l’autre, c’est à dire : quel que soient les ensembles A, B et C :
A Ç (B È C) = (A Ç B)È (A Ç C)
AÈ (B Ç C) =(A È B) Ç (A È C)
AÈ (B Ç C) =(A È B) Ç (A È C)
Montrer à titre d’exercice que si A et B sont deux parties de E :
· 4- Propriétés définies sur E. Quantificateurs
a) Propriété caractéristique :
Etant donné un ensemble E et A une partie de E, nous appellerons propriété caractéristique des éléments de A, tout critère permettant de décider pour tout élément x de E entre les deux propositions : ( xÎ A) ou (x Ï A) |
Si l’on note p cette propriété, dire que x possède la propriété p est équivalent à dire que x appartient à A.
xÎ A Û p(x )
et l’on écrit :
A = {xÎE / p(x)}
Par négation, on aura :
(xÏ A Û non p(x ) Û )
Exemple.
IR= {xÎ IR / x ³ 0}
Donc, pour tout nombre réel x,
(x³ 0 Û xÎ IR )
x< 0 Û xÏIRÛ xÎ IR *-
x< 0 Û xÏIRÛ xÎ IR *-
b) Quantificateurs.
Soit A une partie d’un ensemble E telle que A = {xÎE / p(x)}, examinons les cas suivants :
· A est non vide
Il existe donc au moins un élément x de E possédant p, nous écrirons :
($ xÎ E ) p(x)
(lire : « Il existe au moins un élément x de E possédant p »)
· A = E (A est la partie pleine de E)
Donc, tout élément de E possède p, nous écrirons :
(\" xÎ E ) p(x)
(lire : « quel que soit x de E, x possède p » ou « pour tout x de E, p(x) »)
Les symboles \" et $ s’appellent des quantificateurs, le 1er est le quantificateur universel et le 2ème est le quantificateur existentiel, leur usage est soumis à des règles très strictes que nous aurons l’occasion de souligner au fur et à mesure de leur usage durant le déroulement de ce cours.
c) Relations entre les quantificateurs.
Dans les deux cas que nous avons examinés dans b), les formules :
((\" xÎ E ) p(x)) et (($ xÎ E ) p(x))
sont des propositions ne concernant pas x ; cherchons leurs négations.
((\" xÎ E ) p(x)) Û A = E Û E – A = Æ
La négation de « E – A = Æ » est « E –A ¹ Æ ». Ce que l’on peut énoncer :
« il existe au moins un x de E possédant non p »
et qui s’écrit :
($ xÎ E ) non p(x)
De même,
(($ xÎ E ) p(x)) Û A ¹ Æ
la négation du 2ème membre de l’équivalence est :
A = Æ
Donc aucun élément de E ne possède p, ce qui équivaut à dire que « tout élément de E possède non p » et qui s’écrit ((\" xÎ E ) non p(x)).
En conclusion, on a :
non[(\" xÎ E ) p(x)] Û [($ xÎ E ) non p(x)]
non[($ xÎ E ) p(x))] Û [(\" xÎ E ) non p(x))]
non[($ xÎ E ) p(x))] Û [(\" xÎ E ) non p(x))]
Ces deux règles sont fondamentales, elles précisent mieux la signification qu’on a dans le langage parlé pour les expressions « il existe au moins » et « pour tout élément ».
(Exemple : la locution « tous les x ne possèdent pas p » est ambiguë et pourrait s’interpréter de différentes manières).
· 5- Généralisation de la notion de réunion et d’intersection
Etant donné un ensemble E, considérons un sous ensemble Á de Ã(E). Les éléments de Á sont donc des sous ensembles de E ; on dit aussi que Á est une famille de parties de E.
On appelle intersection de la famille Á et l’on note : la partie de E telle que chacun de ses éléments appartienne à chacun des ensembles de la famille Á. |
Ainsi :
On appelle réunion de la famille Á et l’on note : la partie de E telle que chacun de ses éléments appartienne à au moins un des ensembles de la famille Á. |
Ainsi :
Exemple.
Prenons E = {a, b, c,d } et Á = {{a},{a,b},{a, c}}, nous avons :
et
عدل سابقا من قبل رشا نسرين في الإثنين 14 ديسمبر - 20:32 عدل 1 مرات
